جریان در کانال باز به مایعاتی برمی گردد که در یک کانال در حال جریان هستند و فشار اتمسفر بر سطح آنها وارد می شود. علت جریان داشتن مایعات در لوله به دو عامل گرانش و اختلاف فشار برمی گردد این در حالی است که سیال در کانال باز تنها تحت تاثیر نیروی گرانشی حرکت می کند پس می توان گفت جریان به علت اثرات هندسی پیچیده و به دلیل خاصیت سه بعدی ناپایدار است.

آشنایی با جریان کانال باز

همانطور که گفته شد مایعاتی که در مجرای باز در جریانند قاعدتا یک سر آنها در تماس با اتمسفر است پس جهت بررسی آن لازم است از  قوانین سطح آزاد یعنی سطح تماس مایع/گاز استفاده کرد.

مطابق شکل بالا به علت عدم وجود لغزش در سطوح سرعت جریان در سطوح کناری و بخش پایین صفر و در صفحه میانی در بیشترین مقدار خود قرار دارد و همچنین بیشترین مقدار سرعت در بخش پایین تر سطح آزاد دیده می شود که علت آن جریان های ثانویه است. جریان های ثانویه سبب می شود که سرعت محوری در فاصله 25% برابر عمق به بیشترین مقدار خود برسد. جهت جریان عامل دیگری است که سرعت سیال در راستای آن تغییر می کند  پس می توان با قاطعیت گفت که توزیع سرعت در کانال های باز به شکل سه بعدی است. از آنجایی که تنها عاملی که سرعت متوسط را تغییر می دهد طول جریان یا x است می توان v را یک متغیر تک بعدی دانست که همین امر سبب می شود به سادگی بتوان مسائل واقعی را حل کرد.

دو نوع جریان در کانال باز وجود دارد یکی پایدار (Steady) و دیگری ناپایدار (Unsteady) است.  وقتی در طول یک جریان در نقطه ای مشخص تغییری دیده نشود آن جریان ثابت است اما در جریان ناپایدار اینگونه نیست.

انواع جریان در کانال باز

یکنواخت و متغیر :

 با در نظر گرفتن تغییرات عمق یک جریان y می توان جریان کانال باز را به دو دسته یکنواخت و متغیر تقسیم کرد. اگر عمق یک جریان یا به عبارت دیگر سرعت متوسط جریان ثابت باشد ما با جریانی یکنواخت مواجه هستیم در غیر این صورت غیر یکنواخت (Nonuniform) یا متغیر (Varied) است.

برای به وجود آمدن جریان یکنواخت در کانال های باز با سطح مقطع و شیب ثابت لازم است شتاب برای جبران اثر اصطکاک و کاهش ارتفاع، افزایش یابد. مهمترین پارامتر جریان یکنواخت در کانال باز، عمق قائم (y_n) یا عمق جریان است. اما اگر در مسیر جریان یکنواخت یک مانعی مانند دریچه قرار گیرد یا شیب و سطح مقطع تغییر کند جریان از یکنواخت به متغیر تغییر می کند. همانطور که گفته شد عمق جریان بسیار اهمیت دارد و اگر در طول یک کانال در فاصله کوتاهی تغییر زیادی در عمق ایجاد شود نوع جریان به وجود آمده متغیر سریع (Rapid Varied Flow) یا RVF است. در نقطه مقابل اگر تغییرات عمق در مسافت های طولانی تر و به صورت آرام رخ دهد جریان به وجود آمده متغیر تدریجی (Gradually Varied Flow) یا GVF  است که با توجه به شکل بالا در بین دو جریان یکنواخت و متغیر سریع رخ می دهد.

لایه ای و متلاطم

جریان در کانال به سه شکل لایه ای (Laminar)، انتقالی (Transitional) و متلاطم (Turbulent) دیده می شود یعنی مانند سه جریان مرسوم در لوله. برای محاسبه این نوع از جریان از عدد رینولدز استفاده می شود:

همانطور که گفته شد V همان سرعت متوسط مایع و  نشانگر ویسکوزیته سینماتیکی مایع است. شعاع هیدرولیکی یا R_h با توجه به شکل زیر بر اساس سطح مقطع جریان به محیط تر شونده محاسبه می شود.

برای محاسبه قطر هیدرولیکی یا D_h لوله دایره ای از فرمول زیر استفاده می شود.

همانطور که در بالا دیده می شود می توان برای محاسبه قطر هیدرولیکی از شعاع آن نیز استفاده کرد.

نوع دیگری از جریان که وجود دارد لایه ای است که این نوع از جریان از لایه نازکی تشکیل شده که با سرعت پایین در حال جریان یافتن است.  محیط تر شونده به نقاطی گفته می شود که در تماس مستقیم با مایع قرار دارند مانند کف یا دیواره های این محیط اگر مطابق شکل زیر مستطیلی باشد به این صورت محاسبه می شود:

و برای بدست آوردن شعاع هیدرولیکی از فرمول زیر استفاده می شود:

به عنوان مثال یک اگر مطابق شکل زیر فیلم مایع روی سطحی قرار گیرد به علت آنکه b»y است شعاع هیدرولیکی برابر با ضخامت سیال می شود.

برای محاسبه شعاع های هیدرولیکی کانال های با شکل ذوزنقه و دایره از فرمول های زیر استفاده می شود:

عدد فرود

عدد بی بعد فرود (Froude Number) یکی دیگر از روش های دسته بندی جریان سیال در کانال است که دارای سه حالت زیر بحرانی(Subcritical)، بحرانی (Critical) و فوق بحرانی(Supercritical)است. محاسبه عدد فرود مطابق فرمول زیر است:

که در آن L_c طول مشخص شده است که در کانال های مستطیل شکل همان عمق جریان و یا y است. عدد یک مبنای تشخیص نوع بحرانی بودن جریان است به این صورت که زیر یک زیر بحرانی، یک بحرانی و بالای یک فوق بحرانی است که این اعداد با عدد ماخ (Mach Number) متناظر هستند. یکی دیگر از راه های تعریف عدد فروید نسبت سرعت سیال به سرعت موج است که از طریق فرمول زیر محاسبه می شود:

گاها عدد فروید را با رابطه بین نیروی اینرسی به نیروی گرانشی نشان می دهند:

که عبارت سمت راست آن تناسب بین نیروی گرانشی و اینرسی را نشان میدهد که با توجه به بزرگی و کوچکی عدد فرود می توان نوع نیروی غالب را تشخیص داد به این صورت که اگر عدد فرود کوچک باشد نیروی گرانشی غالب است و اگر بزرگ  باشد نیروی اینرسی. به بیان دیگر می توان گفت اگر جریانی به سمت بالا در حال حرکت باشد F_r کوچکتر از یک است و بالعکس اگر بزرگتر از یک باشد جریان به سمت پایین جریان دارد و برابر با یک حاکی از جریان ثابت است.

اگر جریان در یک کانال باز بحرانی وجود داشته باشد سرعت آن از طریق زیر محاسبه می شود:

که در این فرمول y_c عمق بحرانی است و از طرف دیگر سطح مقطع را با A_c و نرخ دبی حجمی را با v^. نشان می دهند. حال اگر بخواهیم عمق بحرانی را در یک کانال مستطیلی شکل محاسبه کنیم لازم است از فرمول زیر استفاده شود:

سپس رابطه یک و دو را با هم ادغام می کنیم که به صورت زیر در می آید:

همانند جریان تراکم ناپذیر امکان تبدیل شدن جریان زیر بحرانی به فوق بحرانی و یا بالعکس با رخ دادن شوک یا پرش هیدرولیکی وجود دارد.

بررسی سرعت امواج سطحی

پدیده موج پدیده آشنایی است که همه ی ما با آن آشنا هستیم. برای مطالعه موج لازم است با سرعت موج یا c₀ آشنا شویم. فرض کنیم در یک کانال عریض یک سیالی در ارتفاع y در حال سکون قرار گرفته است، اگر عاملی به سیال سرعت بخشد موجی سطحی به ارتفاع  تشکیل می شود.

در این حالت موج از سمت راست به چپ حرکت می کند و از طرفی سیال سمت چپ با سرعت C₀–   در حال حرکت است که در این صورت موازنه جرم برای حجم کنترل b به شکل زیر است.

استفاده از فرمول با فرض ثابت بودن سرعت جریان و چشم پوشی کردن از اصطکاک سطح زیرین و نیروی درگ هوا امکان پذیر است. با توجه به کم بودن اثر دینامیکی، فشار مایع به هیدرواستاتیکی تغییر می کند در نتیجه فشار در نقطه یک به صورت زیر است:

و در نقطه دو به این صورت دیده می شود:

اما نرخ دبی چرمی در این فرمول ثابت و به شرح زیر است

و با توجه به اینکه نیرو از جهت x وارد می شود، نیروهای ایجاد شده را می توان حاصل فشار دانست پس معادله مومنتوم آن به این صورت است:

پس موازنه بین نیروی فشار هیدرواستاتیکی و انتقال مومنتوم به شرح زیر است:

رابطه های قبلی به شکل زیر در می آید

و در نهایت رابطه به این صورت است:

حالا فرض برای امواج بسیار کوچک اینگونه است

پس سرعت موج برابر است با

این روابط مخصوص مایعات کم عمق است و در عمق های بالا سرعت موج مستقل از عمق مایع است. اما اگر کانال باز غیر مستطیل باشد در این صورت عمق هیدرولیکی با استفاده از فرمول زیر محاسبه می شود:

مثلا برای کانال به شکل دایره به شکل زیر است:

پرتاب یک سنگ در آب می تواند به راحتی تعیین کند سطح آب به سمت بالا برود یا پایین. اگر پرتاب سنگ ایجاد جهش ناگهانی کند به آن پرش هیدرولیکی گفته می شود که حالت فوق بحرانی است.

بررسی انرژی مخصوص جریان در کانال باز

اگر عمق جریان را y، سرعت متوسط را V و ارتفاع کف به مرجع بیرونی را    Zفرض کنیم، انرژی مکانیکی کل سیال به صورت زیر تعریف می شود:

هد سرعت و یا هد دینامیکی با استفاده از فرمول زیر تعریف می شود:

انرژی مخصوص حاصل مجموع هد فشار و هد دینامیکی است و به صورت زیر محاسبه می شود:

حال اگر کانال مستطیل شکل باشد نرخ دبی مطابق فرمول زیر محاسبه می شود:

و بازنویسی انرژی جریان آن به شرح زیر است:

اگر قصد ترسیم نمودار انرژی مخصوص بر حسب y را داشته باشیم نمودار زیر به دست می آید:

در این نمودار هد دینامیکی مایع ناحیه E_S=y است و سایر نقاط مشمول هد فشار می شود همچنین هرچه y به سمت صفر حرکت کند سرعت به سمت بی نهایت می رود. با افزایش عمق جریان، انرژی مخصوص با عمق جریان برابر می شود زیرا سرعت و جنبش بسیار کم است پس این نقطه را می توان نقطه بحرانی  دانست. از آنجایی که تغییر کوچک در انرژی در نزدیکی نقطه بحرانی ایجاد نوسان شدید آب می کند پس باید این نقاط را در طراحی کم کرد.

میزان عمق بحرانی با استفاده از فرمول زیر استفاده می شود:

سرعت در نقطه بحرانی برابر با فرمول زیر است:

و حداقل انرژی مخصوص از مطابق رابطه زیر محاسبه می شود:

برای داشتن جریان یکنواخت فرمول زیر برقرار است که طبق آن عمق، سرعت و انرژی مخصوص ثابت است.

در جریان غیر یکنواخت انرژی متغیر است و بسته به میزان اختلاف دو هد انرژی مخصوص بیشتر خواهد بود.

 

پایستگی جرم و انرژی در جریان کانال باز

 

معادله پایستگی جرم برای حالت پایدار و تک بعدی به صورت زیر است:

و برای پیوستگی جریان در دو نقطه اینگونه است:

برای تعیین انرژی کل مطابق شکل زیر ارتفاع نقطه A و سرعت جریان مطابق فرمول زیر محاسبه می شود:

و فشار هیدرواستاتیکی را فرمول زیر به نمایش می گذارد:

در نتیجه انرژی کل به شرح زیر است:

پس معادله انرژی به صورت زیر است:

و با در نظر گرفتن اثر اصطکاک معادله به شکل زیر در می آید:

همانطور که در شکل زیر دیده می شود کانال هایی که شیب دار هستند محرک آنها نیروی گرانش است

S₀ همان شیب کف کانال است و به علت کوچک بودن آن از فرمول زیر استفاده شده است:

کاهش فاصله عمودی برای کانال با  شیب ثابت و سطح زیرین مستقیم به صورت زیر است:

و معادله انرژی آن به شکل زیر بازنویس می شود:

حال اگر رابطه زیر برقرار باشد

رابطه زیر بدست می آید:

زمانی خط انرژی در بالای خط افقی مرجع قرار می گیرد که در فاصله زیر باشد

که در این حالت هد می تواند بیان کننده انرژی مکانیکی کل مایع باشد.